lunes, 15 de febrero de 2010

Diffraction Condition in the Reciprocal Lattice

Let us consider a plane monochromatic wave incident on a crystal and let ko = s$_o/\lambda$ be its wave vector. Each scatterer will diffuse this wave in every direction with the same wavelength (coherent scattering). The total amplitude scattered in a particular direction sh will be obtained by summing the amplitudes scattered in this particular direction by all scatterers, taking into account their phase relations. Let A and B be two homologous points in the structure, that is AB = r is a direct lattice vector. The phase differences between the waves scattered by A and B is equal to:

\begin{displaymath} \phi = 2\pi \frac{(\textbf{s}_h - \textbf{s}_o)}{\lambda}\cdot \textbf{r}\end{displaymath} (5.1)
(sh and so are unit vectors in the reflected and incident directions, respectively).
There will be diffraction of the incident wave by the crystal if the wavelets diffracted by all homologous points are in phase, that is if $\phi$ is equal to an integer times 2$\pi$ whatever the direct lattice vector r. The phase $\phi$ may also be written:

\begin{displaymath} \phi = 2 \pi \textbf{R} \cdot \textbf{r}\end{displaymath} (5.2)
where R = (sh - so)/$\lambda$ is the so-called diffusion vector.
The modulus of the diffusion vector has the dimension of the reciprocal of a length. R can therefore be expanded in reciprocal space:
\begin{displaymath} \textbf{R} = h\textbf{a*} + k\textbf{b*} + l\textbf{c*}\end{displaymath}
The position vector r can in the same way be expressed in terms of its coordinates u, v, w in direct space. Applying relations (2.3), we may therefore write the phase difference $\phi$ in the following way:

\begin{displaymath} \phi = 2 \pi (hu + kv + lw)\end{displaymath} (5.3)

We may note that u, v, w being the coordinates of a direct lattice vector are integers. If $\phi$ is to be equal to an integer times 2$\pi$ whatever u, v, w, we conclude that h, k, l are necessarily also equal to integers; in other words, the diffusion vector is a reciprocal lattice vector . This is the diffraction condition in reciprocal space. Bragg`s law and the Ewald sphere construction are easily deduced from this result.
Let O be the origin of the reciprocal lattice and IO and IH vectors respectively equal to s$_o/\lambda$ and s$_h/\lambda$.The vector OH is therefore equal to R (Fig. 7). If the diffraction condition is satisfied, H is a reciprocal lattice node. We have therefore the following construction: we draw through O a line parallel to the incident direction, let $IO = 1/\lambda$, then draw a sphere centered in I with radius 1/$\lambda$. If it passes through another reciprocal lattice node H, there is a reflected beam parallel to IH.
We may notice in the triangle IOH that OH/2 = IH $\times$ sin $\theta$,calling $\theta$ the angle between IO or IH with the bissectrix of OIH, that is with the trace of the set of direct lattice planes associated with the node H.
We know from (2.8) that
\begin{displaymath} OH = \frac{n}{d}\end{displaymath}
where d is the lattice spacing of the direct lattice planes and n the order of H along the reciprocal lattice row OH. We find thus that:
\begin{displaymath} \frac{n}{2d} = \frac{\sin \theta}{\lambda}\end{displaymath}
which is of course Bragg`s law. A reciprocal lattice node may thus be associated with each Bragg reflection .
This result can also be obtained directly through the properties of Fourier transforms. The basic assumption of the geometrical theory of diffraction is that the amplitude of the incident wave at each scatterer is constant. This assumption is acceptable if the interaction between the incident wave and the scatterers is small enough. The total diffracted amplitude in a given direction is therefore simply equal to the sum of the amplitudes scattered in this direction by every scatterer, taking into account their phase relationships. It is equal to:

\begin{displaymath} A = A_e \int\int\int \rho(\textbf{r})e^{-2{\pi}i\textbf{R}{\cdot}r}d{\tau}\end{displaymath} (5.4)
using (5.1) and (5.2). Ae is the amplitude diffracted by one scatterer and $\rho$(r) the density of scatterers electrons if we consider X-ray diffraction for instance. The integral is extended over the volume of the crystal. We shall assume it here to be infinite. Expression (5.4) shows that the distribution of diffracted amplitudes is the Fourier transform of the electron density $\rho$(r). If the diffracting medium is crystalline, it is triply periodic. The Fourier transform of $\rho$(r) is then a distribution of Dirac masses at each reciprocal lattice node. The weight associated with each one of them is equal to the structure factor:
\begin{displaymath} \begin{array} {rcl} F_{hkl} = & A_e \displaystyle \int\!\!\!...  ...xtbf{R}{\cdot}\textbf{r}}dc \\  & \hbox{unit cell} &\end{array}\end{displaymath}

\begin{displaymath} = \sum_j f_je^{-2{\pi}i}(hx_j + ky_j + lz_j)\end{displaymath}
where fj is the form factor of atom j and xj, yj, zj its numerical coordinates in the unit cell.

Diffraction theory

Summary notes, equations and figures

Introduction: a constrast of two interactions of radiation with matter
Spectroscopy (absorption): measure the variation of intensity with n or l in one direction, to obtain a spectrum.
Crystallography (diffraction): measure the variation of intensity with direction for one l, to obtain a diffraction pattern.

Fundamental properties of a wave, important in diffraction
Wavelength  l  (distance between two adjacent crests or troughs of the wave)
Amplitude  |F|  (size of wave, half the difference between crest and trough); intensity I µ |F|2
Phase  f  (position of a crest or maximum relative to other waves, measured as a fraction of the wavelength or as an angle in the range 0 to 360°)

Analogy between a microscope and X-ray crystallography
X-ray crystallography works essentially like an X-ray microscope, but in two stages:
1. scattering of X-rays by a small crystalline sample (lots of identical molecules regularly arranged and scattering cooperatively); record the diffraction pattern;
2. recombination of scattered waves mathematically by computer, to give a representation of the time-averaged electron density distribution in the sample (effectively, the positions of atoms); this can not be carried out physically as in an optical microscope.

Fundamentals of the crystalline state

Translation symmetry is essential; other symmetry (rotation, reflection, inversion) may also be present.  Translation symmetry is characterised by a lattice, and its basic repeat unit is the unit cell; geometry is specified by 3 lengths and 3 angles, some of which take special values/relationships if rotation/reflection symmetry is present.
Space group: the collection of all symmetry operations for a crystal structure.  Symbol is a combination of letters and numbers, indicating the symmetry present.  There are 230 space groups.
Asymmetric unit: the unique part of the structure (a fraction of a unit cell).  Operation of symmetry except for pure translation generates the unit cell, then operation of translation symmetry generates the complete crystal structure.
Crystal systems
For the essential symmetry, each type of rotation axis is generic; it could be a proper or improper rotation or a screw axis, and mirrors can also be glide planes.  The unit cell types shown in parentheses can be converted into standard types not in parentheses by a different choice of axes, but are used in some cases in order to satisfy other conventions or conveniences regarding symmetry and geometry.
Crystal system
Essential symmetry
Unit cell restrictions
Unit cell types


2 and/or m for one axis
P, C (I)
2 and/or m for three axes
P, C (A), I, F
4 for one axis
a=b; a=b=g=90°
P, I
3 for one axis
a=b; a=b=90°, g=120°
P (R)
6 for one axis
a=b; a=b=90°, g=120°


3 for four directions
a=b=c; a=b=g=90°
P, I, F

Any line, and any plane (or set of regularly spaced parallel planes) in a 3D lattice (crystal structure) can be specified by 3 numbers; for lines joining lattice points, and sets of planes passing through lattice points, these numbers are integers.  For planes, they are called Miller indices, represented by the letters h,k,l.

Crystals and their diffraction patterns
X-rays are used because their wavelengths are comparable to the sizes of atoms and molecules, giving rise to diffraction effects by crystals.
Geometry of diffraction pattern (positions of spots on film/detector, directions of diffracted beams) is related to unit cell (lattice) geometry.
Symmetry of diffraction pattern is related to symmetry of crystal structure (space group).
Intensities of diffraction pattern are related to the nature and positions of atoms within the asymmetric unit.

Diffraction by crystals (geometry): reciprocal lattice, Bragg equation, and Ewald sphere

Direct lattice (crystal structure lattice) is defined by three vectors: a, b, c.  Define a reciprocal lattice (a*, b*, c*), such that
a* = (b ´ c) / V     b* = (c ´ a) / V     c* = (a ´ b) / V
V = a × (b ´ c) = b × (c ´ a) = c × (a ´ b)
Hence:   a × a* = b × b* = c × c* = 1
and  a × b* = a × c* = b × a* = b × c* = c × a* = c × b* = 0
This means that a* is perpendicular to both b and c, etc.  If every set of parallel lattice planes is represented by a point such that its distance from the origin is 1/d (the reciprocal of the spacing between planes) and the direction is perpendicular to the planes, then all the possible points lie at reciprocal lattice points, and the coordinates of each point (counting from the origin in three dimensions) are the Miller indices of the plane: (ha* + kb* + lc* = d*hkl, a vector with length 1/dhkl).  As a consequence of the Bragg equation (below), the reciprocal lattice is a convenient representation for the geometry of the diffraction pattern, and every diffracted beam (X-ray reflection) is labelled by the three indices h,k,l, specifying the associated lattice planes.

path difference = a sinyi + a sinyd = hl

where yi and yd are the angles of the incident and diffracted beams as shown, l is the wavelength, a is the one-dimensional lattice spacing, and h is an integer (positive, zero, or negative).  For a given value of yi (a fixed incident beam), each value of h corresponds to an observed diffraction maximum and the equation can be used to calculate the permitted values of yd, the directions in which intensity is observed.  The result is a set of bright fringes. 
Using vector notation: if s and s0 are unit vectors along the directions of the diffracted and incident beams, and a is the lattice translation vector, then
a · (s - s0) = hl
There are three such equations, one for each dimension, and all must be satisfied simultaneously (Laue equations); this requires three integers h, k, l and reference to all three lattice vectors a, b, c.
Alternative representation for three dimensions (right): for rays reflected by two adjacent planes
path difference = 2dhkl sinq = (n) l
Using vector notation: if d*hkl is the reciprocal lattice vector for the reflecting planes, then this vector is parallel to s - s0 and
(s - s0)/l = d*hkl = ha* + kb* + lc*
The Ewald sphere construction is a way of showing geometrically how rotation of a crystal (and its reciprocal lattice with it) leads to the Bragg equation being satisfied in certain orientations, generating observed diffracted beams.  A sphere of radius 1/l is centred on the crystal, with the incident beam in a fixed direction.  The origin of the reciprocal lattice is placed on the sphere opposite the incident beam, and the crystal rotates.  Whenever a reciprocal lattice point touches the surface of the sphere, the Bragg equation is satisfied for this set of lattice planes, and a Bragg reflection occurs; the direction of the diffracted beam is from the centre of the sphere to the reciprocal lattice point.  This allows us to predict both where and when diffraction will occur, if the lattice parameters and crystal orientation are known.

Diffraction by crystals (symmetry)
To a first approximation, all diffraction patterns have inversion symmetry (Friedel's Law); the point group symmetry of the pattern is related to the space group of the crystal and is called the Laue group.  There are 11 possible Laue groups.  Other aspects of the space group symmetry are revealed in 'systematic absences', special subsets of the data that systematically have zero intensity.
For a non-centrosymmetric crystal structure, if the X-ray wavelength is close to an absorption edge of an element in the compound, Friedel's Law breaks down, and I(h,k,l) ¹ I(-h,-k,-l).  The (usually small) intensity differences can be measured and used to determine absolute configuration for chiral structures.

Ider Guerrero


Tras el descubrimiento de los rayos X en 1895 por Röntgen, en 1912 von Laue, basándose en tres hipótesis (que el medio cristalino es periódico, que los rayos X son ondas, y que la longitud de onda de los rayos X es del mismo orden de magnitud que la distancia que se repite en los cristales) confirmó la difracción de rayos X (DRX) y dio la pauta para el comienzo de la ciencia de la Cristalografía de rayos X.
Poco después, Bragg descubrió que la geometría del proceso de DRX es análoga a la reflexión de la luz por un espejo plano. Así, en una estructura cristalina tridimensional, debido a su periodicidad, es posible construir conjuntos de muchos planos que son paralelos entre sí, igualmente espaciados (distancias perpendiculares mínimas) y conteniendo idénticas disposiciones atómicas. El proceso consiste en la dispersión de los rayos X por las nubes electrónicas que rodean a los átomos del cristal originando un patrón de difracción regular (al igual que la estructura atómica del cristal), resultado de la interferencia constructiva y destructiva de la radiación dispersada por todos los átomos.
Las circunstancias en las que el resultado de esta interferencia es constructivo vienen reguladas por la ecuación de Bragg, que no suministra más información que la dada por las ecuaciones de von Laue, pero sí facilita enormemente la interpretación del resultado.
El modelo geométrico de la DRX es complicado debido a que las longitudes de onda de los rayos X son aproximadamente comparables a los espaciados entre planos reticulares del cristal. Los patrones de DRX de los cristales ofrecen una cierta representación de la red del cristal, que variará su grado de distorsión según el método utilizado: luz policromática o filtrada, cristal oscilatorio, etc.
El mecanismo de la difracción
La difracción de las ondas electromagnéticas se produce porque los elementos de una rejilla, absorben la radiación y actúan a su vez como fuentes secundarias reemitiendo la radiación en todas direcciones. Cuando hacemos incidir un haz de rayos X sobre un cristal, éste choca con los átomos haciendo que los electrones que se encuentren en su trayectoria vibren con una frecuencia idéntica a la de la radiación incidente. Estos electrones actúan como fuentes secundarias de nuevos frentes de onda de rayos X con la misma longitud de onda y frecuencia.
Cuando un cristal difracta rayos X, las ondas dispersadas electromagnéticas reemitidas interfieren entre sí constructivamente sólo en algunas direcciones, es decir se refuerzan, anulándose en el resto. Los rayos 1 y 2 estarán en fase y por tanto se producirá difracción cuando la distancia AB represente un número entero de longitud de onda, esto es cuando AB=nl , siendo n un número entero (0, 1, 2, 3...n).

Para cada nl el ángulo q es constante y el conjunto de los rayos difractados forma un cono cuyo eje central está formado por una fila de átomos. Ese cono tiene otro simétrico al otro lado del haz incidente.
(En la figura ha quedado representado cada cono formado por un conjunto de haces difractados correspondientes a cada n)

Para que la difracción tenga lugar en las tres dimensiones de un cristal es necesario que se satisfagan las siguientes tres ecuaciones conocidas como ecuaciones de Laue:

a, b y c son las distancias reticulares en las tres dimensiones;
h, k, l son números enteros;
(a, b, g)1 representa el ángulo entre el haz incidente y la fila de átomos
y (a,b, g)2 entre ésta y el haz difractado en cada una de las dimensiones.
Así para que se produzca un haz difractado es necesario que tres conjuntos de conos representantes de tres posibles soluciones de las ecuaciones de Laue deben intersectarse a lo largo de tal dirección. Esto sucede en rarísimas ocasiones por lo que en la práctica se utiliza la ecuación propuesta por Bragg.
La ecuación de Bragg
Bragg se dio cuenta que los rayos X dispersados por todos los puntos de la red en un plano (hkl) debían estar en fase para que las ecuaciones de Laue se vieran sastisfechas y aún más, la dispersión a partir de sucesivos planos (hkl) debían estar así mismo en fase. Para una diferencia de fase igual a cero las leyes de la simple reflexión deben mantenerse para un plano sencillo y la diferencia de camino para reflexiones de planos sucesivos debe ser un número entero de longitudes de onda .

En la figura presentada arriba se ve como un haz incidente es difractado por dos planos sucesivos hkl con espaciado interplanar dhkl. La diferencia de camino recorrido por los dos haces de planos sucesivos viene dada por la ecuación
AB+BC = 2dhkl sen q,
y de ahí la condición para que la difracción sea máxima:
2dhkl sen q = nl
Bragg encontró que las trayectorias de difracción en los cristales podían explicarse como si hubieran producido por reflexión de rayos X por planos hkl, pero sólo cuando la ecuación se satisface.
La mayor aplicación de la ley de Bragg se encuentra en la interpretación de diagramas de difracción de rayos X de cristales completamente pulverizados (diagramas de polvo). A partir del método de difracción del polvo se determinan los parámetros de la red y en algunos casos las estructuras cristalinas a partir de las intensidades de difracción.
La red recíproca y la esfera de Ewald
Un cristal consiste en una repetición periódica de la celda unidad (rellena por el motivo y sus equivalentes generados por simetría) en una red. Igualmente, podemos definir la red recíproca como aquella red cuyas dimensiones son recíprocas a la celda original y corresponden a las posiciones de reflexión, y cuyo tamaño la intensidad de la reflexión.

Cada uno de los puntos de la red correspondientes a la difracción de un grupo específico de planos de la red cristalina se define por el índice hkl. Las dimensiones de la red recíproca están recíprocamente relacionadas con la red real. En el caso de la figura anterior, sistema rómbico, las relaciones son simples: c*=1/c, etc, pero en un sistema genérico oblícuo la relación es más complicada.
La longitud del vector d(hkl)* de la red recíproca (desde el origen al punto hkl de la red recíproca) es la distancia recíproca d(hkl) de los planos de la red cristalina con este índice. Así, d(001)*=1/c; d(002)*=1/2c.
La intensidad observada, I, de los puntos de difracción puede extraerse del tamaño correspondiente del punto de la red recíproca (I(hkl) es proporcional a |F(hkl)2|. Claramente cada uno depende de los contenidos de la celda unidad y a su vez el grupo espacial de simetría tendrá implicaciones sobre la simetría del patrón de difracción.
Una herramienta muy útil para conocer la aparición de los puntos de difracción es la esfera de Ewald:
1. Se dibuja una esfera de radio 1/lambda en el centro de la cual imaginamos al cristal real.
2. El origen de la red recíproca se marca en el haz transmitido, en el borde de la esfera de Ewald.

La máxima difracción (reflexiones, puntos de difracción) ocurre solamente cuando las tres ecuaciones de Laue, o la equivalente ecuación de Bragg, son satisfechas. Estas condiciones se cumplen cuando un punto de la red recíproca cae exactamente sobre la esfera de Ewald.

Es necesario rotar el cristal para mover los puntos de la red recíproca a través de la esfera de Ewald. Dibujando la red recíproca en el origen en un principio sólo (101) y (10-1) dan lugar a una reflexión. Rotando la red, el cristal, a través del eje vertical, el punto de la red recíproca (201) entrará en la esfera y creará un punto de difracción.

Greiner A. Gonzalez R.
Electronica en Estado Solido

Cristales semiconductores

La red cristalina y la base
Un cristal es un regular, ordenada disposición de los átomos en una escala grande. Los átomos pueden ser de un tipo único o la repetición de un arreglo complejo de muchos tipos diferentes de átomos. El cristal puede ser considerado como compuesto de dos partes separadas: la celosía y la base. La celosía es una disposición ordenada de los puntos en el espacio, mientras que la base consiste en la simple disposición de los átomos que se repite en cada punto de la red para construir la estructura cristalina. Una buena analogía, se modela papel tapiz. El patrón de la base es como un motivo en el fondo de pantalla y la red se periódicas de los puntos en los que el motivo se repite. En la figura 1, los puntos de la red se corresponden con el centro de la base, pero esto no tiene por qué ser el caso.

Figura 1. Un cristal puede ser pensado como como fondo de pantalla. El motivo es análoga a la base y la disposición del motivo sobre la superficie es como de la red.
Los puntos de la red se especifican usando vectores. Vectores de celosía son las más cortas distancias a los puntos más cercanos vecinos en la red convencional y se denota por A, B y C. El ángulo entre estos vectores se dan los símbolos, a, ß y ?. Un ejemplo sencillo de dos dimensiones se muestra en la figura. 2. Cualquiera de los dos puntos de la red se puede acceder mediante una combinación de los vectores de celosía a y b. Obviamente, en tres dimensiones, cualquier punto de la red se puede acceder mediante una combinación de los tres vectores reticulares a, b y c. En 2-dimensiones esto es,

El vector de base, R es un vector de un punto de la red a otra en términos de los vectores de celosía. Dado que la red tiene el mismo aspecto (invarient) en ir de un punto de la red a otra, la red tiene simetría traslacional.
Primitivo de la célula
La célula primitiva es la parte más pequeña de la red que se repite la reconstrucción de la estructura del cristal entero.
La celda unidad - es un volumen repite en toda la red. La celda unidad no tiene que ser la célula primitiva.

Figura 2. Los vectores de celosía son una combinación lineal de los vectores de la base.
Las Rejas Catorce Bravais
Las formas en que podemos especificar los puntos de la red en el espacio y mantener la simetría de traslación es limitada. En 1848, Auguste Bravais demostró que hay, de hecho, sólo catorce Rejas punto posible y no más. Por sus esfuerzos, el término red de Bravais se utiliza a menudo en lugar de punto de celosía.

Tabla 1. De siete sistemas de cristal componen catorce tipos de redes de Bravais en tres dimensiones.
- P Primitiva: celda unidad simple
F - Face centrado en: el punto adicional en el centro de cada cara
I - Cuerpo centrado en: el punto adicional en el centro de la celda
C - Centrado: punto adicional en el centro de cada extremo
- R Romboedro: clase hexagonal sólo
Índices de Miller y la notación de
Índices de Miller se utilizan para identificar los planos de los átomos dentro de una estructura de cristal. Índices de Miller se escriben como tres dígitos entre paréntesis, (100), por ejemplo. Habida cuenta de las intersecciones del plano con los ejes cristalográficos. (direcciones de los vectores de red), uniéndose a las intersecciones con las líneas define un plano que atraviesa el cristal. Los índices de Miller se calcula tomando el inverso de la intercepta y multiplicarla por su mayor factor común. Los números negativos se representan mediante la colocación de una barra sobre la parte superior del dedo. Si esto le suena para nada complicado, es fácil de ilustrar con algunos ejemplos. Si la intersección está en el infinito, el plano es paralelo al eje y el índice de Miller es cero, puesto que, 1 / &inf; = 0.

Figura 3. Ejemplo de los índices de Miller muestra el plano de los átomos que representan
El diligente lector habrá observado que, debido a la simetría de la unidad de la célula de la red, ciertos planos son equivalentes. En la red cúbica, por ejemplo, (100) es equivalente a cinco aviones de otros, (010), (001), (100), (010), (001) y de reconocer esto, el conjunto de índices de Miller se escribe ( 100) que significa que el conjunto de planos (100) equivalentes en virtud de la simetría. La belleza de este sistema, es que los aviones de similar puede observarse en cualquiera de los grupos de puntos de red de Bravais. Los índices de Miller también son similares en la forma en que los aviones son descritos en términos matemáticos.
Como vimos anteriormente, un vector de un punto de la red a otra se puede especificar en términos de los vectores de celosía de la célula primitiva. Una notación abreviada, las direcciones se han mostrado como tres números entre corchetes [uvw] donde u, v, w son números enteros y es importante no confundir éstas con índices de Miller. La dirección es entonces

Direcciones equivalentes son designados mediante corchetes angulares .
La red recíproca
Las celosías de reciprocidad es el conjunto de puntos que representan los valores permitidos de wavevectors para las series de Fourier y Transformadas de Fourier con la periodicidad de la red. El valor de k permitido para cualquier vector está dado por

donde f (k) es la transformada de Fourier de f (r). El valor de k para un segundo punto (también en la red) f (r + R) es

Dado que la red es periódico, es de esperar que cualquiera de 2 puntos en la red real del espacio se devuelven el mismo valor de k. Por lo tanto, las ecuaciones (2) y (3) a ser igual, si

Esta restricción sólo permite que ciertos vectores (n). Vectores que satisfacen (4) están dadas por

Por último, el vector k es más les da el símbolo G.

Donde h, j, l son enteros y los vectores de A *, B * y C * son los vectores de la red recíproca. En términos de la red de vectores a, b, c la red recíproca vectores A *, B * y C * son dados por:

El denominador en (6) son el volumen de la celda unidad y actuar como una constante de normalización. Uso de las relaciones de la red y la red recíproca de la transformación de celosía real a la red recíproca puede ser calculado.
De Wigner-Seitz de la célula
La celda de Wigner-Seitz es una célula primitiva, que muestra la simetría total de la red. La siguiente figura muestra la construcción de una celda de Wigner-Seitz. En el espacio de reciprocidad, la celda de Wigner-Seitz es también una zona de Brillouin y vamos a utilizar para construir zonas de Brillouin más tarde.
a) Seleccionar un punto de la red y dibujar las líneas de construcción a los puntos más cercanos vecinos.
b) Dibujar líneas que cortará perpendicularmente las líneas de construcción
c) El más pequeño cerrado área representa el celular de Wigner-Seitz. Aquí se muestra en naranja.
Figura 4. La construcción de la celda de Wigner-Seitz.
Zonas de Brillouin
La zona de Brillouin se define en la red recíproca como el volumen encerrado en una celda de Wigner-Seitz. En los límites de la zona de Brillouin, la condición de difracción de Bragg en la red recíproca deben ser satisfechas.

Donde k ' es la wavevector de la onda difractada y k es la wavevector incidente y G es un vector de la red recíproca. Cuadratura (8) da,

y suponiendo que la onda es elásticamente dispersos, entonces 2 k '= k 2. La ecuación (9) se convierte en 2 × k G =- G 2. Por último, si G es un vector de celosía, también lo es - G y la ecuación puede ser reescrita como

La interpretación geométrica de la ecuación (10) es que la condición de difracción se cumple si k se encuentra en el plano perpendicular que divide el vector de celosía G.

Figura 5. La interpretación geométrica de la condición de difracción de Bragg que da lugar a los límites de la zona de Brillouin.
Con el fin de construir las zonas de Brillouin (BZ), se utiliza el método de construcción de la celda de Wigner-Seitz (WS) esbozó más arriba, pero utilizando el espacio de la red recíproca. Otras zonas de Brillouin puede construirse mediante la adopción de la siguiente serie de puntos de la red más cercana desde el punto de partida y repetir el proceso.
Dado que están relacionados con la red cristalina y red recíproca, la WS celda definida en el espacio real y de la WS en el espacio k también están relacionados. In particular, the WS defined in the bcc real space lattice gives a fcc BZ in reciprocal lattice and vice versa. En particular, se definió en la red del BCC espacio real da una BZ de la FCC en la red recíproca y viceversa.

Figure 6. Figura 6. The transformation of the WS cell of bcc lattice in real space transforms to a Brillouin zone in a fcc lattice in reciprocal space while the WS cell of a fcc lattice transform to a Brillouin zone of a bcc lattice in reciprocal space. La transformación de la Era de la célula de red cristalina BCC en el espacio real se transforma en una zona de Brillouin en una red de FCC en el espacio recíproco, mientras que el WS célula de una red FCC transformar a una zona de Brillouin de una red BCC en el espacio recíproco.

Puntos de la simetría en la zona de Brillouin se da especial importancia sobre todo cuando la determinación de la bandstructure del material.
El bandstructure de los semiconductores son las energías permite que los electrones pueden tener. Estas bandas de energía varían con el k-space (espacio de la red recíproca). Por lo tanto, los puntos de simetría de alta en la zona de Brillouin tienen una importancia específica. Tal vez la más importante, al menos para los dispositivos optoelectrónicos, es en k = 0, lo que se conoce como el punto gamma. Como es de esperar, se da el símbolo, Γ.

Figura 7. Algunos puntos importantes sobre la simetría de la zona de Brillouin de un cristal de la FCC (espacio real) y las direcciones de los planos. [1]

Tabla 2. k-vectores de la simetría de los puntos importantes para la estructura cristalina de la FCC. . Los índices de los puntos de X son una permutación cíclica de los ejes. Por ejemplo, si i = x = y entonces j, k = Z. Si i = y entonces j = z y k = x, etc

Greiner A. Gonzalez R.
Electronica en Estado Solido

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