Ider Guerrero EES

El fenómeno de la difracción El fenómeno de la difracción puede ser observado, por ejemplo, si a lo largo del camino de propagación de la luz existe un obstáculo, es decir, un cuerpo opaco con forma arbitraria o, también, cuando la luz pasa a través de los huecos existentes en un cuerpo opaco extenso (figura 2). Si las leyes de la óptica geométrica fuesen estrictamente satisfechas, debería de existir una región de sombras, más allá de la ventana, con formas delimitadas por las regiones de la ventana donde la luz no pudiese pasar. La difracción produce como consecuencia, que en vez de existir una relación directa entre la luz y la sombra, aparezca una distribución, más o menos compleja, de la intensidad de la luz en la pantalla sobre la que incide. El fenómeno de la difracción aparecerá de forma más acusada, cuanto menores sean las dimensiones de las aperturas en la ventana o mayor sea la longitud de onda.



Figura 2.  Situaciones en las que aparece la difracción, (arriba) el haz encuentra un objeto opaco ó (abajo) el haz encuentra aberturas en un cuerpo opaco.
De forma físico-matemática el problema de la difracción lo podemos plantear de la siguiente manera. Dada una distribución espacial de diferentes objetos y una posición conocida de las fuentes de luz que inciden sobren estos, determinar la distribución de la intensidad de la luz o del campo electromagnético, en todo el espacio. La solución analítica de este problema solo es posible por medio de la resolución de la ecuación de ondas con unas condiciones de enlace apropiadas en la superficie del objeto difractor, esas condiciones vienen determinadas también por las propiedades ópticas del material del que esté constituido dicho objeto. Este cálculo, normalmente entraña grandes dificultades matemáticas cuando se abordan problemas tales como las distribuciones atómicas consideradas como objetos difractores.
Modelo matemático de Huygens
La situación física más sencilla pero con un especial interés es el fenómeno de difracción que aparece cuando un haz de ondas planas y paralelas, inciden sobre una red de difracción. Como resultado del fenómeno, el haz incidente deja de ser paralelo a la red y aparecen ondas electromagnéticas propagándose en todas direcciones.
Según el modelo de Huygens, el campo eléctrico en cualquier punto del espacio P(x,y,z) se puede determinar si se conoce el aspecto de dicha onda en cada uno de los puntos de una superficie cerrada S (red de difracción infinita). El planteamiento se basa en la suposición de que cada elemento diferencial de superficie difractora, dS, actúa como una fuente secundaria de ondas que contribuye al campo en el punto P .
La figura 3 nos muestra la situación física planteada planteada.



Figura 3. Red infinita con periodo d.
Consideremos que el campo de la onda incidente tiene la forma



donde el vector de onda incidente  tiene las componentes (k_x,k_y,k_z). La superficie de salida S , la vamos a considerar cerrada en el infinito, cumpliendo una de las condiciones del modelo de Huygens.
Las ondas secundarias que emiten cada uno de los elementos diferenciales de la superficie dS son esféricas y el campo asociado a cada una de ellas en el punto P  vendrá dado por la ecuación



donde a es un coeficiente que no conocemos por el momento, R es la distancia entre el elemento diferencial de superficie y el punto evaluado P.
El campo total en el punto P, lo obtendremos integrando sobre la superficie cerrada S en la forma


(Ec.9)
donde el vector  corresponde a un punto dado perteneciente a la superficie S.
Supongamos, por el momento, que la red es finita, por lo que la función de transparencia asociada a la parte restante de la superficie de Huygens, será  Como estamos evaluando el campo eléctrico lejos de la red de difracción, el punto P se encuentra situado lejos de la red de difracción, de forma que la distancia entre este punto y la red es mucho mayor que las dimensiones de esta, es decir


.
Si desarrollamos por Taylor el valor de R, obtenemos que



Sustituyamos esta expresión en la ecuación de campo (Ec.9), obteniendo que


(Ec.10) Llamemos   al término  Este vector , es el vector recíproco asociado a la red de difracción real. En esta aproximación consideramos que R es aproximadamente igual a r  debido a que las correcciones dependen de r como 1/r², tal que



El término   es proporcional a  donde L es la dimensión de la red y por hipótesis L << r.
Si desarrollamos la ecuación 10, sustituyendo todos los resultados obtenidos hasta el momento, vemos que


(Ec.11)
donde  , es el vector de difracción y  es la transformada de Fourier bidimensional de la función de transparencia de la red  con la forma



A pesar del factor  la onda que viene dada por la ecuación 11 no es una onda esférica, pues su amplitud depende de la dirección del vector r() .
El flujo de energía comprendido en un ángulo sólido  de esta onda, es proporcional a



Sustituyendo el valor del campo (Ec.11), vemos que el flujo es proporcional a


(Ec.12)
Si la función de transparencia es bidimensional, es decir =(y,z), para ángulos de difracción pequeños tendremos que


(Ec.13)
donde = (k,fy,fz). Según la ecuación anterior, el flujo de energía que atraviesa el plano yz  es, por tanto, proporcional a



es decir, que el flujo total está constituido por los flujos que provienen de todas las direcciones comprendidas dentro de una semiesfera. A un determinado ángulo sólido  le corresponderá un flujo


(Ec.14) donde k²= dfy dfz.
Identificando términos entre las ecuaciones de flujo (Ec.12) y (Ec.14), vemos que se cumplen las igualdades



donde ya podemos apreciar el significado del parámetro a, que no es otro que el del radio de la semiesfera de observación o de Ewald.
Redes tridimensionales
Si ahora consideramos una función de transparencia tridimensional, = (x,y,z), la ecuación de campo (Ec.13) sigue siendo válida. Experimentalmente esta situación sucede en la difracción de neutrones, electrones o rayos X, a través de un sólido cristalino. En estos casos se cumple la condición geométrica . Esto significa, desde el punto de vista físico, que las ondas difractadas en las direcciones  , son elásticas respecto a las incidentes en la dirección , o lo que es lo mismo, sus longitudes de onda y sus energías son idénticas. Las direcciones en las que se produce difracción , se pueden representar mediante una esfera de visualización, conocida como esfera de observación o de Ewald, tal y como muestra la figura 4.



Figura 4. Región geométrica de visualización o esfera de Ewald.
Un cristal se puede considerar una distribución periódica e infinita de motivos (átomos u/o moléculas),  a la que se le puede asociar una red imaginaria. De forma que mediante la traslación de tres vectores unitarios, es posible representarla matemáticamente (ver figura 5).



Figura 5. Red tridimensional.
En un cristal la función de transparencia (x,y,z), vemos que es una función periódica en x, y, z, por lo que su transformada de Fourier tridimensional, tendrá el aspecto



Aplicando lo que sabemos respecto a las funciones periódicas, podemos decir que la trasformada de Fourier de la función de transparencia será proporcional a


(Ec.15)
donde h, k y l son números enteros conocidos como indices de Miller y  los vectores unitarios en las direcciones de las periodicidades x, y, z. A esta red puntual generada por la ecuación 15 se la conoce como red recíproca asociada a la red real o cristalográfica, que constituye el cristal (ver Figura 6).



Figura 6. Relación entre la red real y recíproca de un cristal.
La técnica de Laue
Si un punto de la red recíproca,  , no se encuentra situado en contacto con la esfera de observación, no existirá el vector   y no se observará la difracción asociada a dicho punto. Para poder observarla, podemos hacer varias cosas.
Una consiste en variar el módulo del vector  , modificando la longitud de onda de la radiación que incide sobre el cristal, de forma que variamos el radio de la esfera de observación hasta hacer que la esfera entre en contacto con el punto que queremos hacer difractar (ver figura 7).



Figura 7. Si variamos la longitud de onda de la radiación
incidente, variamos el radio de la esfera de visualización.
Experimentalmente la técnica de difracción de rayos X que se sirve principalmente de este principio, se conoce como técnica de Laue. El dispositivo experimental es realmente sencillo, de hecho fue el primero que históricamente se utilizó para estudiar las propiedades periódicas de la materia. Los vectores  son generados por una fuente de rayos X, aprovechando las emisiones que surgen de la brusca desaceleración que sufren los electrones al incidir sobre una metal muy puro. El módulo de los vectores  viene definido por el espectro de energía de la fuente de rayos X, que presenta un aspecto continuo tal y como muestra la figura 8.



Figura 8. Espectro continuo de una fuente de rayos X
Debemos de darnos cuenta de que al ser continuo el espectro de longitudes de onda, disponemos de todo un intervalo de vectores incidentes  , cada uno de ellos con un radio propio en la esfera de visualización, lo que nos indica que se conseguirá hacer difractar todos los nudos recíprocos comprendidos entre el radio mínimo y el máximo de la esfera de visualización, obteniendo diagramas de difracción que son una superposición de distintos niveles de la red recíproca simultáneamente (ver figura 9).



Figura 9. Diagrama de difracción (imagen recíproca)
de una red atómica de Si (cúbico) en la dirección ternaria.
La dirección del conjunto de vectores  , se define mediante un sistema de colimadores con diámetros comprendidos entre 0.1 y 0.5 mm. De esta forma los vectores incidentes sobre la red tridimensional poseen una dirección definida y constante. Los vectores difractados , se impresionan en una emulsión fotográfica como la da la figura 9, debido a que los rayos X no son, obviamente, visibles. La figura 10 muestra una cámara real de difracción de rayos X de Laue.



Figura 10.  Cámara de Laue. A la derecha se ve la fuente
de rayos X y en el centro la cámara en si.
La técnica de 4 círculos.
Otra opción para obtener la difracción del punto recíproco  ,  consiste en dejar el módulo de  fijo y rotar el conjunto de vectores de la red recíproca hasta conseguir poner en contacto el punto  , con la superficie de la esfera de observación como muestra la figura 11.



Figura 11. Rotación de la red recíproca.
La gran mayoría de las técnicas de difracción de rayos X aprovechan este principio, pero quizás la que más es la difracción de cuatro círculos. Esta técnica, intenta utilizar vectores de onda lo más monocromáticos posibles, con el fin de que el grosor de la esfera de visualización sea lo menor posible. Para conseguirlo, se aprovecha el espectro característico de energía de una fuente de rayos X.
A partir de un determinado potencial de aceleración de los electrones que inciden sobre el ánodo de la fuente de rayos X, se excita la radiación característica del elemento del que se encuentra constituido dicho ánodo, de modo que aparecen, superpuesto al espectro continuo, unas emisiones con la longitud de onda muy definida, es decir, con un módulo del vector de onda  asociado muy definido (ver figura 12).



Figura 12. Espectro característico de una fuente de rayos X
La dirección de los vectores  se define, al igual que en la cámara de Laue, por un sistema de colimación. El siguiente paso es ¿cómo mover la red recíproca?. La solución es bien sencilla, hemos visto (ver figura 6) que existe una relación intrínseca entre la red real y la recíproca, de modo que las operaciones de simetría que se le realicen a la red real, afectarán de igual modo a la red recíproca. Debido a esta razón la red real (cristal) se sitúa en un sistema goniométrico euleriano que consiste en un dispositivo capaz de realizar tres giros sobre un punto fijo en el que se sitúa el cristal a estudiar. Mediante estos tres giros la red se pueden mover hasta hacer coincidir cualquier punto recíproco con la esfera de visualización y conseguir la difracción asociada a dicho punto. La figura 13 muestra un difractómetro real de cuatro círculos.



Figura 13. Difractómetro de cuatro círculos. En el centro podemos
ver la fuente y a la derecha e izquierda dos tipos de goniómetros.
Las técnicas de difracción son las herramientas básicas de las que disponemos para estudiar la estructura y las propiedades de la materia, constituyendo todo un área de conocimiento dentro de la física del estado sólido.

Ider Guerrero

EES

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