domingo, 30 de mayo de 2010

Experimento de Young

Thomas Young

El físico inglés Thomas Young (1773-1829) destacó sobre todo por sus estudios sobre la luz. Sus experimentos impulsaron decisivamente la hipótesis ondulatoria sobre la naturaleza de la luz y permitieron, al mismo tiempo, producir interferencias luminosas basándose en esta hipótesis.





Experimento de Young

El experimento de Young, también denominado experimento de la doble rendija, fue realizado en 1801 por Thomas Young, en un intento de discernir sobre la naturaleza corpuscular u ondulatoria de la luz. Young comprobó un patrón de interferencias en la luz procedente de una fuente lejana al difractarse en el paso por dos rejillas, resultado que contribuyó a la teoría de la naturaleza ondulatoria de la luz.

Posteriormente, la experiencia ha sido considerada fundamental a la hora de demostrar la dualidad onda corpúsculo, una característica de la mecánica cuántica. El experimento también puede realizarse con electrones, átomos o neutrones, produciendo patrones de interferencia similares a los obtenidos cuando se realiza con luz, mostrando, por tanto, el comportamiento dual onda-corpúsculo de la materia.





Relevancia física

Aunque este experimento se presenta habitualmente en el contexto de la mecánica cuántica, fue diseñado mucho antes de la llegada de esta teoría para responder a la pregunta de si la luz tenía una naturaleza corpuscular o si, más bien, consistía en ondas viajando por el éter, análogamente a las ondas sonoras viajando en el aire. La naturaleza corpuscular de la luz se basaba principalmente en los trabajos de Newton. La naturaleza ondulatoria, en los trabajos clásicos de Hooke y Huygens.

Los patrones de interferencia observados restaban crédito a la teoría corpuscular. La teoría ondulatoria se mostró muy robusta hasta los comienzos del siglo XX, cuando nuevos experimentos empezaron a mostrar un comportamiento que sólo podía ser explicado por una naturaleza corpuscular de la luz. De este modo el experimento de la doble rendija y sus múltiples variantes se convirtieron en un experimento clásico por su claridad a la hora de presentar una de las principales características de la mecánica cuántica.

La forma en la que se presenta normalmente el experimento no se realizó sino hasta 1961 utilizando electrones y mostrando la dualidad onda-corpúsculo de las partículas subatómicas (Claus Jönsson, Zeitschrift für Physik, 161, 454; Electron diffraction at multiple slits, American Journal of Physics, 42, 4-11, 1974). En 1974 fue posible realizar el experimento en su forma más ambiciosa, electrón a electrón, comprobando las hipótesis mecanocuánticas predichas por Richard Feynman. Este experimento fue realizado por un grupo italiano liderado por Pier Giorgio Merli y repetido de manera más concluyente en 1989 por un equipo japonés liderado por Akira Tonomura y que trabajaba para la compañía Hitachi. El experimento de la doble rendija electrón a electrón se explica a partir de la interpretación probabilística de la trayectoria seguida por las partículas.


El experimento (Formulación clásica)
La formulación original de Young es muy diferente de la moderna formulación del experimento y utiliza una doble rendija. En el experimento original un estrecho haz de luz, procedente de un pequeño agujero en la entrada de la cámara, es dividido en dos por una tarjeta de una anchura de unos 0.2 mm. La tarjeta se mantiene paralela al haz que penetra horizontalmente es orientado por un simple espejo. El haz de luz tenía una anchura ligeramente superior al ancho de la tarjeta divisoria por lo que cuando ésta se posicionaba correctamente el haz era dividido en dos, cada uno pasando por un lado distinto de la pared divisoria. El resultado puede verse proyectado sobre una pared en una habitación oscurecida. Young realizó el experimento en la misma reunión de la Royal Society mostrando el patrón de interferencias producido demostrando la naturaleza ondulatoria de la luz.

Formulación moderna [editar]La formulación moderna permite mostrar tanto la naturaleza ondulatoria de la luz como la dualidad onda-corpúsculo de la materia. En una cámara oscura se deja entrar un haz de luz por una rendija estrecha. La luz llega a una pared intermedia con dos rendijas. Al otro lado de esta pared hay una pantalla de proyección o una placa fotográfica. Cuando una de las rejillas se cubre aparece un único pico correspondiente a la luz que proviene de la rendija abierta. Sin embargo, cuando ambas están abiertas en lugar de formarse una imagen superposición de las obtenidas con las rendijas abiertas individualmente, tal y como ocurriría si la luz estuviera hecha de partículas, se obtiene una figura de interferencias con rayas oscuras y otras brillantes.

Este patrón de interferencias se explica fácilmente a partir de la interferencia de las ondas de luz al combinarse la luz que procede de dos rendijas, de manera muy similar a como las ondas en la superficie del agua se combinan para crear picos y regiones más planas. En las líneas brillantes la interferencia es de tipo "constructiva". El mayor brillo se debe a la superposición de ondas de luz coincidiendo en fase sobre la superficie de proyección. En las líneas oscuras la interferencia es "destructiva" con prácticamente ausencia de luz a consecuencia de la llegada de ondas de luz de fase opuesta (la cresta de una onda se superpone con el valle de otra).


Acumulación de electrones con el paso del tiempo.

La paradoja del experimento de Young

Esta paradoja trata de un experimento mental, un experimento ficticio no realizable en la práctica, que fue propuesto por Richard Feynman examinando teóricamente los resultados del experimento de Young analizando el movimiento de cada fotón.

Para la década de 1920, numerosos experimentos (como el efecto fotoeléctrico) habían demostrado que la luz interacciona con la materia únicamente en cantidades discretas, en paquetes "cuantizados" o "cuánticos" denominados fotones. Si la fuente de luz pudiera reemplazarse por una fuente capaz de producir fotones individualmente y la pantalla fuera suficientemente sensible para detectar un único fotón, el experimento de Young podría, en principio, producirse con fotones individuales con idéntico resultado.

Si una de las rendijas se cubre, los fotones individuales irían acumulándose sobre la pantalla en el tiempo creando un patrón con un único pico. Sin embargo, si ambas rendijas están abiertas los patrones de fotones incidiendo sobre la pantalla se convierten de nuevo en un patrón de líneas brillantes y oscuras. Este resultado parece confirmar y contradecir la teoría ondulatoria de la luz. Por un lado el patrón de interferencias confirma que la luz se comporta como una onda incluso si se envían partículas de una en una. Por otro lado, cada vez que un fotón de una cierta energía pasa por una de las rendijas el detector de la pantalla detecta la llegada de la misma cantidad de energía. Dado que los fotones se emiten uno a uno no pueden interferir globalmente así que no es fácil entender el origen de la "interferencia".

La teoría cuántica resuelve estos problemas postulando ondas de probabilidad que determinan la probabilidad de encontrar una partícula en un punto determinado, estas ondas de probabilidad interfieren entre sí como cualquier otra onda.

Un experimento más refinado consiste en disponer un detector en cada una de las dos rendijas para determinar por qué rendija pasa cada fotón antes de llegar a la pantalla. Sin embargo, cuando el experimento se dispone de esta manera las franjas desaparecen debido a la naturaleza indeterminista de la mecánica cuántica y al colapso de la función de onda.

http://es.wikipedia.org/wiki/Experimento_de_Young


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Difracción de Ondas

Difracción

En física, la difracción es un fenómeno característico de las ondas que consiste en la dispersión y curvado aparente de las ondas cuando encuentran un obstáculo. La difracción ocurre en todo tipo de ondas, desde ondas sonoras, ondas en la superficie de un fluido y ondas electromagnéticas como la luz y las ondas de radio. También sucede cuando un grupo de ondas de tamaño finito se propaga; por ejemplo, por causa de la difracción, un haz angosto de ondas de luz de un láser deben finalmente divergir en un rayo más amplio a una cierta distancia del emisor.

El fenómeno de la difracción es un fenómeno de tipo interferencial y como tal requiere la superposición de ondas coherentes entre sí.

Se produce cuando la longitud de onda es mayor que las dimensiones del objeto, por tanto, los efectos de la difracción disminuyen hasta hacerse indetectables a medida que el tamaño del objeto aumenta comparado con la longitud de onda.

En el espectro electromagnético los Rayos X tienen longitudes de onda similares a las distancias interatómicas en la materia. Es posible por lo tanto utilizar la difracción de rayos X como un método para explorar la naturaleza de la estructura cristalina. La difracción producida por una estructura cristalina verifica la ley de Bragg.

Debido a la dualidad onda-corpúsculo característica de la mecánica cuántica es posible observar la difracción de partículas como neutrones o electrones. En los inicios de la mecánica cuántica este fue uno de los argumentos más claros a favor de la descripción ondulatoria que realiza la mecánica cuántica de las partículas subatómicas.
Como curiosidad, esta técnica se utilizó para intentar descubrir la estructura del ADN, y fue una de las pruebas experimentales de su estructura de doble hélice propuesta por James Watson y Francis Crick en 1953.








Difracción de ondas

Los fenómenos de interferencia y difracción propios de las ondas mecánicas y del sonido en particular son extensibles también a las ondas electromagnéticas y, por tanto, a la luz. Por la peculiar naturaleza de este tipo de ondas, las interferencias luminosas y la difracción electromagnética tienen un alto interés científico y práctico.


Interferencias luminosas

Las condiciones necesarias para que se produzcan interferencias en las ondas electromagnéticas son las mismas que las explicadas para las ondas mecánicas.

Las ondas que interfieren han de tener la misma frecuencia. Los haces de luz deben ser casi paralelos. En el caso de la luz es casi imposible que haces procedentes de distintas fuentes tengan una misma frecuencia (salvo en la luz láser). Por tanto, para provocar interferencias se utiliza una misma fuente que emite un solo haz. Mediante un dispositivo específico, dicho haz se descompone en varios, que se hacen confluir finalmente en un mismo punto con una cierta diferencia de fase.

Para ello se utilizan dos procedimientos alternativos:

Se obliga a que los dos haces en que se descompone el primer haz recorran caminos de diferente longitud. Se usan superficies reflectantes, ya que la onda reflejada presenta un desfase de 180º con respecto a la incidente, si el segundo medio es más denso que el primero.


Interferencias en láminas delgadas

Los fenómenos de interferencia luminosa se producen de forma espontánea, no inducida, en ciertos sistemas naturales. Algunos ejemplos corrientes son las irisaciones de las pompas de jabón o las manchas de grasa extendidas sobre una superficie humedecida.

Las irisaciones son franjas que se forman por la interferencia de los haces luminosos que se reflejan en las dos superficies de separación (aire-aceite y agua-aceite) de la mancha.

Suponiendo que la luz incide sobre el sistema en direccion casi vertical, y asignando los valores genéricos e al espesor de la mancha y lm a la longitud de onda en su interior, se obtiene que:




Difracción por una rendija

Por el fenómeno de difracción, la luz y las restantes ondas electromagnéticas pueden sortear obstáculos, doblar esquinas o "colarse" por una rendija. Los principios de la difracción electromagnética coinciden con los explicados para las ondas mecánicas (ver t47).

Si en el camino de la luz se interpone una superficie opaca con una rendija, se aprecia que en dicha pantalla aparecen franjas brillantes y oscuras, como en los fenómenos de interferencia descritos por Young. Ello se justifica considerando que la rendija se comporta como una sucesión de numerosas rendijas muy finas que producen este tipo de interferencias.

La distribución de las franjas oscuras en la pantalla se determina mediante la formula:

donde l es la longitud de onda, a la anchura de la rendija y n un numero entero.

La intensidad luminosa de las rendijas es máxima en la zona central de la pantalla y disminuye drásticamente lejos de esta zona. Cuando la longitud de onda coincida con la anchura de la rendija, no existirán franjas oscuras y la rendija actuará como una fuente luminosa.





TERMINOLOGIAS:

Haces coherentes

Se llama coherencia al fenómeno por el cual dos haces de radiación de una misma frecuencia mantienen una relación fija entre sus fases, con lo que la diferencia de fase entre ambas ondas es constante. Esta característica es propia del láser, un término que procede de las iniciales de la expresión inglesa Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation (amplificación luminosa por emisión de radiación estimulada).


Redes de difracción

Las redes de difracción son elementos de un dispositivo óptico que permiten separar un haz de luz o radiación electromagnética en general en las distintas líneas de su espectro. Se basan en el fenómeno de la difracción para dispersar las distintas longitudes de onda (en la luz, colores) de la onda incidente y obtener líneas separadas espacialmente que componen su distribución espectral. Las redes de difracción, de múltiples aplicaciones científicas e industriales, se distinguen por su elevado poder de resolución espacial.




La sombra nítida
Según los principios de la óptica geométrica, si no existiera difracción, los bordes de las sombras de los objetos serían perfectamente nítidos, por cuanto deberían manifestar la ausencia total de luz en sus puntos. Sin embargo, en la mayoría de las situaciones de la vida cotidiana se aprecia algo de luz en la zona correspondiente a las sombras de los objetos. Esta circunstancia se explica por la capacidad de la luz para bordear los contornos de los obstáculos que se interponen en su trayectoria e inundar, aun parcialmente, la región que debería corresponder a una ausencia absoluta de iluminación.

http://es.wikipedia.org/wiki/Difracci%C3%B3n
www.unirioja.es/dptos/dq/fa/emo/amplia/node1.html


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Ley de Bragg

La ley de Bragg permite estudiar las direcciones en las que la difracción de rayos X sobre la superficie de un cristal produce interferencias constructivas, dado que permite predecir los ángulos en los que los rayos X son difractados por un material con estructura atómica periódica (materiales cristalinos).

Fue derivada por los físicos británicos William Henry Bragg y su hijo William Lawrence Bragg en 1913. La ley de Bragg confirma la existencia de partículas reales en la escala atómica, proporcionando una técnica muy poderosa de exploración de la materia, la difracción de rayos X. Los Bragg fueron premiados con el Premio Nobel de Física en 1915 por sus trabajos en la determinación de la estructura cristalina del NaCl, el ZnS y el diamante.


Interferencia y difracción

Cuando los rayos X alcanzan un átomo interaccionan con sus electrones exteriores. Éstos reemiten la radiación electromagnética incidente en diferentes direcciones y con la misma frecuencia (en realidad debido a varios efectos hay pequeños cambios en su frecuencia). Este fenómeno se conoce como dispersión de Rayleigh (o dispersión elástica). Los rayos X reemitidos desde átomos cercanos interfieren entre sí constructiva o destructivamente. Este es el fenómeno de la difracción.

En el diagrama que sigue se esquematizan rayos X que inciden sobre un cristal. Los átomos superiores reemiten la radiación tras ser alcanzados por ella. Los puntos en los que la radiación se superpone constructivamente se muestran como la zona de intersección de los anillos. Se puede apreciar que existen ángulos privilegiados en los cuales la interferencia es constructiva, en este caso hacia la derecha con un ángulo en torno a 45º.



La radiación incidente llega a átomos consecutivos con un ligero desfase (izquierda). La radiación dispersada por los átomos (círculos azules) interfiere con radiación dispersada por átomos adyacentes. Las direcciones en las que los círculos se superponen son direcciones de interferencia constructiva.

La interferencia es constructiva cuando la diferencia de fase entre la radiación emitida por diferentes átomos es proporcional a 2π. Esta condición se expresa en la ley de Bragg:



donde

n es un número entero,
λ es la longitud de onda de los rayos X,
d es la distancia entre los planos de la red cristalina y,
θ es el ángulo entre los rayos incidentes y los planos de dispersión.




De acuerdo al ángulo de desviación (2θ), el cambio de fase de las ondas produce interferencia constructiva (figura izquierda) o destructiva (figura derecha).
Deducción de la Ley de Bragg

Consideramos la figura de abajo conformada por planos de átomos distanciados a una longitud d. Para el primer plano, las rayos 1 y 1a golpean los átomos K y P los cuales son dispersados en todas la direcciones; pero para cierta dirección, estos rayos (1' y 1a') se encuentran en fase y por lo tanto se cumple que:

QK − PR = PKcosθ − PKcosθ = 0

Esta condición se cumple para cada plano.

Para analizar los rayos dispersados por átomos en diferentes planos se toma los rayos 1 y 2 de la figura de arriba. Estos rayos son dispersados por los átomos K y L, la diferencia en sus caminos ópticos es ML + LN = d'sen(θ) + d'sen(θ) .

Así estos rayos estarán completamente en fase si su diferencia de caminos es igual a un número entero (n) de longitudes de onda λ, de tal manera que se cumple que nλ = 2d'sen(θ)


Otra manera de deducir la Ley de Bragg es considerar ahora una diferencia de fase. Para dos rayos difractados se tiene que la diferencia de fase es igual 2πr(Ks − Ki) = 2πrR

Donde R = (Ks − Ki) , r es la distancia de separación entre los planos y K es el vector de onda. Para la Fig de arriba,


Para que haya una interferencia constructiva r R es un múltiplo de uno de tal manera que







Analogía

Se puede expresar esta ley considerando una analogía con un caso más simple. Consideremos que los planos cristalográficos son representados por espejos semi transparentes en los que la radiación incidente es reemitida en parte en cada uno de los planos. Las interferencias formadas entonces se rigen por la ley de Bragg. De hecho, la fórmula de Bragg es idéntica a las interferencias producidas en una capa delgada de aire obtenidas en un interferómetro de Michelson. De manera más estricta hay que tener en cuenta que las ondas son dispersadas por átomos individuales alineados de manera periódica.

http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Bragg


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Consecuencias del la reciprocidad

Consecuencias de la reciprocidad

– ¿qué ocurrirá cuando pongamos un arreglo donde las distancias entre los dispersores son menores?



Pues que las señales de difracción se separan más para el caso de las distancias menores y esto ocurre porque:


¿Y que pasará si pongo un cuadrado?



Que el número de dimensiones con reflexiones aumenta



¿Si ahora pongo un rectángulo?



Las reflexiones y su distribución cambian de forma



¿Si ahora pongo una red oblicua?



Otra vez reflexiones y su distribución cambian de forma



¿Si ahora hago una translación de la red oblicua?



La translación hecha es tanto en el eje de las x como en el de las y



Un buen observador inmediatamente notará que esta vez no hay cambios en la distribución de reflexiones respecto al caso anterior. De esta manera, tenemos que es posible relacionar cualquier punto de la red real a un punto de la red recíproca.



Para pasar de uno a otro empleamos esta transformación:

Vector normal a los planos (-1, 0)



Esto mismo lo haremos con diferentes familias de planos

Vector normal a los planos (-2, 1)



Vector normal a los planos (-1, 1)



Vector normal a los planos (-2, 1)





http://depa.fquim.unam.mx/jesusht/02-rayosX-difrac-SA.pdf


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Difracción y la transformada de Fourier

¿Qué es la transformada de Fourier?

Es una representación de alguna función en términos de un conjunto de ondas sinusoidales. Este conjunto de ondas es ortogonal, es decir que ninguna de las funciones del conjunto puede obtenerse como una combinación lineal de las otras. En particular un conjunto de ondas sinusoidales de diferente frecuencia es ortogonal. Una buena analogía es la de los tres colores primarios (Rojo, verde y azul), no hay ninguna combinación de dos de ellos que produzca el tercero, pero con estos tres puedo generar cualquier color. De manera similar mezclando ondas sinusoidales de cualquier frecuencia en las proporciones adecuadas se puede construir cualquier función arbitraria.

Se puede demostrar que es posible representar cualquier función continua sumando suficientes ondas sinusoidales de la frecuencia y amplitud apropiada. Supongamos que un cristal imaginario que tiene tres átomos en la celda dos carbonos y un oxígeno. La densidad electrónica de la celda se verá así:




Ahora trataremos de representar esta función en términos de ondas sinusoidales. La primera tiene una frecuencia de 2 (es decir, se repite dos veces a lo largo de la celda). Uno de los picos representará al oxígeno y el otro a los dos carbonos


La segunda onda tiene una frecuencia de tres (se repite tres veces). Pero tiene diferente fase (empieza en diferente lugar que la otra onda). Y además la amplitud es diferente (es más chaparrita)



Finalmente, añadimos una onda con una frecuencia de cinco. Que también tiene diferente amplitud. Y además la alineamos con los dos átomos de carbono



Ahora las ponemos juntas



Y las sumamos:


Nótese que la suma de las tres ondas es una buena aproximación de la celda original.Entonces habiendo escogido correctamente la amplitud, la frecuencia y el número de ondas pudimos representar correctamente la celda. Ahora haremos la transformada de Fourier de la misma celda:





El resultado muestra una serie de picos estando los mayores en 2, 3 y 5 en el eje x, los cuales corresponden a las ondas que elegimos. Si analizamos con cuidado, nos encontramos además que la altura de los picos corresponden a la amplitud de las tres ondas. Los picos pequeños de la transformada corresponden a ondas adicionales que se requirieron para ajustar perfectamente la densidad original. Entonces la transformada de Fourier nos dice cual es la mezcla de ondas sinusoidales que se necesitan para hacer cualquier función. Obviamente las ondas se siguen hasta el infinito, de manera que tenemos muchísimas copias de la celda unitaria. Otras características de la transformada son que los valores de frecuencia pueden ser positivos o negativos y además son sus valores son complejos no reales.

Pero ¿Cuál es la conexión entre la difracción de Rayos X y las transformadas de Fourier?. Para responder esto, debemos deducir ¿cómo un sólido cualquiera dispersará una onda incidente. Así cuando la onda choca con el sólido, la radiación se dispersará. Consideraremos la onda difractada en una dirección particular, y calcularemos la dispersión total sumando la dispersión en esa dirección desde cada uno de los puntos del sólido. La dirección del haz incidente la representamos por el vector k. El haz difractado en la dirección escogida será k'. Por conveniencia, hacemos que su magnitud sea el recíproco de la longitud de onda del haz:


Una gráfica que presenta esto es esta:





Ahora debemos hacer la suma de la dispersión en todo el sólido y escoger un origen dentro del sólido. Luego calculamos la diferencia entre la longitud de las trayectorias entre un haz dispersado desde un punto arbitrario y un haz imaginario dispersado desde el origen.





La diferencia de en la longitud de la trayectoria se traduce en una diferencia de fase entre las dos ondas. Al sumar la dispersión en todo el sólido tomando en consideración la capacidad de dispersión de cada punto, p(r) y de la representación compleja del cambio de fase. Si sustituimos un nuevo vector s para la diferencia entre k y k', obtenemos la integral de Fourier estándar:



Definiendo:



y sumando para todas las r:





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El espacio Recíproco

El espacio recíproco

El espacio recíproco y el espacio directo son recíprocos uno del otro y están relacionados por la transformada de Fourier. Al espacio recíproco se le llama también espacio de Fourier o espacio de fase.

En el espacio recíproco se puede definir la llamada lattice recíproca, como el conjunto de puntos imaginarios construidos de tal manera que la dirección de un vector desde un punto a otro del espacio recíproco, coincide con la dirección perpendicular a los planos del espacio real La separación de estos puntos (el valor absoluto del vector) es igual al valor recíproco de la distancia interplanar real.

Ewald inventó una construcción geométrica para visualizar cuales de los planos de Bragg están correctamente orientados para que ocurra la difracción Los puntos en la red recíproca representan los planos que forman la red real (red cristalina).Entonces la red cristalina determina (a través de relaciones definidas) los vectores de la red recíproca, el espaciamiento de los puntos de la en la red y las direcciones recíprocas asociadas. Si consideramos una red cristalina bidimensional definida por a, b y el ángulo γ, donde se muestran los planos d100 y d010, la red recíproca de esta, estará construida por los vectores recíprocos a* y b* y estarán separados por el ángulo γ∗



a* será perpendicular a los planos d100 y su magnitud será igual al recíproco de la distancia entre dichos planos. De manera similar b* será perpendicular a los planos d010 y su magnitud será igual al recíproco de la distancia entre dichos planos y por tanto γ + γ∗ =180º



Debido a las relaciones lineales que existen entre los planos se genera una red periódica estas relaciones lineales son como esta:


En general la periodicidad de la red periódica estará dada por esta expresión:


La expresión vectorial de los vectores de la red que definen cada plano hkl es esta:


Donde n es el vector unitario normal a los planos hkl para las redes que no son primitivas, como por ejemplo una que sea centrada en el cuerpo, pueden presentarse ausencias sistemáticas en la red recíproca, esto se debe a la construcción de la red. En esta figura se muestra como se usa una celda unitaria mayor (en verde) en vez de la primitiva (en rojo). Esta celda tiene la ventaja del ángulo recto entre a y b.


Esta red recíproca se construye usando los diferentes vectores de la red y distancias interplanares. Cuando se etiqueta respecto a los nuevos vectores de red recíprocos, las reflexiones vacías estarán ausentes.




Estas ausencias ayudan a distinguir las diferentes clases de redes cristalinas pues cada una tiene tiene ausencias sistemáticas características. En este caso los puntos con h+k es un entero impar están ausentes, debido a la definición de la celda unitaria. Si consideramos un círculo de radio r con dos puntos X y Y en su circunferencia.




Si el ángulo XAY se define como θ, entonces por simple geometría el ángulo X0Y será 2θ, y si además:




Si esta geometría se construye en la en el espacio recíproco,tiene implicaciones muy importantes. Si el radio se define como el inverso de la longitud de onda del haz de rayos X. Si Y es es el punto 000 de la red recíproca y X es un punto cualquiera hkl, entonces la distancia XY es:



Y por lo tanto:


El espacio recíproco, la esfera de Ewald

Entonces resumiendo, el espacio recíproco representa a los conjuntos de planos de la red cristalina:



Cada punto puede etiquetarse, de manera que el punto 000 es el origen del cristal y cada uno de los puntos representa una familia de planos del cristal



Este punto es donde incide el haz de rayos X, descrito por el inverso de su longitud de onda, pues estamos en el espacio recíproco



De esta manera podemos generamos una esfera con un radio igual al inverso de la longitud de onda y con el punto 000 tangente:



Si ahora giramos la dirección del haz de rayos X, veremos que en la superficie de la esfera aparece una reflexión



Y veremos que las condiciones de difracción en ese ángulo se cumplen



Nótese que el haz difractado está a 2θ del haz incidente






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