Difracción y la transformada de Fourier

¿Qué es la transformada de Fourier?

Es una representación de alguna función en términos de un conjunto de ondas sinusoidales. Este conjunto de ondas es ortogonal, es decir que ninguna de las funciones del conjunto puede obtenerse como una combinación lineal de las otras. En particular un conjunto de ondas sinusoidales de diferente frecuencia es ortogonal. Una buena analogía es la de los tres colores primarios (Rojo, verde y azul), no hay ninguna combinación de dos de ellos que produzca el tercero, pero con estos tres puedo generar cualquier color. De manera similar mezclando ondas sinusoidales de cualquier frecuencia en las proporciones adecuadas se puede construir cualquier función arbitraria.

Se puede demostrar que es posible representar cualquier función continua sumando suficientes ondas sinusoidales de la frecuencia y amplitud apropiada. Supongamos que un cristal imaginario que tiene tres átomos en la celda dos carbonos y un oxígeno. La densidad electrónica de la celda se verá así:

Ahora trataremos de representar esta función en términos de ondas sinusoidales. La primera tiene una frecuencia de 2 (es decir, se repite dos veces a lo largo de la celda). Uno de los picos representará al oxígeno y el otro a los dos carbonos

La segunda onda tiene una frecuencia de tres (se repite tres veces). Pero tiene diferente fase (empieza en diferente lugar que la otra onda). Y además la amplitud es diferente (es más chaparrita)

Finalmente, añadimos una onda con una frecuencia de cinco. Que también tiene diferente amplitud. Y además la alineamos con los dos átomos de carbono

Ahora las ponemos juntas

Y las sumamos:

Nótese que la suma de las tres ondas es una buena aproximación de la celda original.Entonces habiendo escogido correctamente la amplitud, la frecuencia y el número de ondas pudimos representar correctamente la celda. Ahora haremos la transformada de Fourier de la misma celda:

El resultado muestra una serie de picos estando los mayores en 2, 3 y 5 en el eje x, los cuales corresponden a las ondas que elegimos. Si analizamos con cuidado, nos encontramos además que la altura de los picos corresponden a la amplitud de las tres ondas. Los picos pequeños de la transformada corresponden a ondas adicionales que se requirieron para ajustar perfectamente la densidad original. Entonces la transformada de Fourier nos dice cual es la mezcla de ondas sinusoidales que se necesitan para hacer cualquier función. Obviamente las ondas se siguen hasta el infinito, de manera que tenemos muchísimas copias de la celda unitaria. Otras características de la transformada son que los valores de frecuencia pueden ser positivos o negativos y además son sus valores son complejos no reales.

Pero ¿Cuál es la conexión entre la difracción de Rayos X y las transformadas de Fourier?. Para responder esto, debemos deducir ¿cómo un sólido cualquiera dispersará una onda incidente. Así cuando la onda choca con el sólido, la radiación se dispersará. Consideraremos la onda difractada en una dirección particular, y calcularemos la dispersión total sumando la dispersión en esa dirección desde cada uno de los puntos del sólido. La dirección del haz incidente la representamos por el vector k. El haz difractado en la dirección escogida será k'. Por conveniencia, hacemos que su magnitud sea el recíproco de la longitud de onda del haz:

Una gráfica que presenta esto es esta:

Ahora debemos hacer la suma de la dispersión en todo el sólido y escoger un origen dentro del sólido. Luego calculamos la diferencia entre la longitud de las trayectorias entre un haz dispersado desde un punto arbitrario y un haz imaginario dispersado desde el origen.

La diferencia de en la longitud de la trayectoria se traduce en una diferencia de fase entre las dos ondas. Al sumar la dispersión en todo el sólido tomando en consideración la capacidad de dispersión de cada punto, p(r) y de la representación compleja del cambio de fase. Si sustituimos un nuevo vector s para la diferencia entre k y k', obtenemos la integral de Fourier estándar: